簡明版的凱利公式
我們日常經常接觸到的凱利公式，指的是下面這種簡明版的凱利公式：
f = (b*p - (1 -p)) / b = ((b+1)*p - 1) / b
= (b*p - q) / b = p - q/b
在公式中，各參數意義為：
f = 應投注的資本比值
p = 獲勝的概率
q = 失敗的概率，即1 - p
b = 賠率，等于期望盈利 ÷可能虧損（也就是盈虧比）
公式上面的分子bp-q代表“贏面”，數學中叫“期望值”。
什么才是不多不少的合適投注呢？凱利告訴我們要通過選擇最佳投注比例，才能長期獲得最高盈利。下面以拋硬幣為例說明一下。
拋擲一枚硬幣，正面你贏2元，反面你輸1元。或者說，如果你每次投入1元，那么正面就拿回3元，反面就輸光了。因為硬幣拋出正反面的概率都是50%，所以p獲勝和q失敗的概率都為0.5；而賠率＝期望盈利÷可能虧損=2元盈利÷1元虧損，賠率就是2；我們要求的答案是f，也就是(bp - q) ÷ b = (2 * 50% - 50%) ÷ 2 = 25%。
拿出資金的25%來進行下注，才能使投資收益最大化。
遺憾的是，平常人并不去賭場，也沒有機會將這個公式應用于賭博場景中。
凱利公式應用于股市
但是，各路大神將它應用于類似于“賭博”的場景——股市中，這就有可能犯一些“適用范圍”方面的錯誤。
在上面的例子中，每一次下注都只有兩種結果：“輸光全部本金”或者“賺一些錢”。
但是，股市并不是這樣運作的，因為，每一個把股市視作賭場的賭徒，都會有一些止損的方法，比如說，輸掉10%之后我就割肉走人了。而且單只股票直接退市價值毀滅的概率也是很低的。這就導致了“輸光全部本金”這種結果在股市中出現的概率很低幾乎不可能，簡單凱利公式在這里其實是不適用的。
f =（bp-q）/ b = p - q/b = p - (1-p)/b
= p - 1/b + p/b = p*(1+1/b) - 1/b
= (1/b+1)*p-1/b
而獲勝的概率p是一個大于等于零、小于等于一的數，那么當且僅當p=100%即1的時候，f=100%。
也就是說，當確保100%能賺錢，我們才能滿倉。幾乎存銀行才能100%確保賺錢，所以我們可以把錢全部存在銀行活期或定期里面。
既然100%能賺錢才能滿倉，那，那些滿倉輪動不擇時的投資者難道都錯了？不一定。
其實問題出在了這里：我們純買股票是不可能全部賠光的。這就使得簡明版凱利公式有點保守了。
正確的做法是使用通用凱利公式：
f = p/l - q/w
在公式中，各參數意義為：
f = 應投注的資本比值，即你的股票倉位
p = 獲勝的概率
q = 失敗的概率，即1 - p
w = win，當你賭對了，你的盈利的比率（不包含本金）
l = loss，當你賭錯了，你的虧損比率
也就是說，簡明凱利公式里面的b = w/l。當l=100%時，通用凱利公式就變成了簡明凱利公式。
也就是說，對于股票市場，如果你設置了一定的止損位，保證在每一次下注的時候不會虧光全部本金，那么這個時候你再用簡明凱利公式來計算倉位就有點保守了。事實上，即使沒有止損位，買一只股票也不大可能跌完，要是買多只股票就更加不可能了。
我們用簡明凱利公式用的很習慣的原因是“過度自信”，我們會把有5%概率發生的事情“自我包裝和強化”成有50%概率發生，我們總是受到近因效應影響，困在自己的信息繭房里，并且把接收到的信息都當做是提高自己獲勝概率的證據。這樣的話，簡明凱利公式的“保守”和我們過度自信的“冒進”就相互抵消掉了一部分，導致我們的整體倉位不輕也不重。
這就產生了一個提醒：如果你用的是通用凱利公式，而不是簡明公式，那么你就不能犯“過度自信”的錯誤！
通用凱利公式中的勝率與賠率
通用凱利公式f = p/l - q/w中，勝率和賠率好像非常對稱，那在公式里面，勝率和賠率是同等重要的嗎？
我換一個問法：如果一個投資標的是有大概率獲得小收益，另一個投資標的是有小概率獲得大收益，那么你應該投哪個呢？我們來模擬一下：
標的一：勝率25%，正確時候的收益率是33.33%，10%止損（錯誤時候的虧損率），那么：
f = 25%/10% - 75%/33.33% = 25%
標的二：勝率33.33%，正確時候的收益率25%，10%止損（錯誤時候的虧損率），那么：
f = 33.33%/10% - 66.67%/25% = 66%
問題來了，為什么勝率和收益率互換了一下位置，倉位就會翻倍了？難道說，凱利公式是重勝率、輕賠率的嗎？
我們先來看一下各標的的期望值（勝率*盈利收益率-敗率*虧損收益率）：
標的一的期望值 = 25%*33.33% - 75%*10% = 0.008325
標的二的期望值 = 33.33%*25% - 66.67%*10% = 0.016655
也就是說，當期望值翻倍的時候，倉位也基本上翻倍了。
標的一，能夠產生更大的收益，但是概率值很低，它更像是那種“彩票型”股票，是低勝率高賠率的投資標的，屬于短線玩一票大的。
標的二，相當于長期投資，屬于“穩穩的幸福”，概率高，賠率中等。
標的二的期望值，基本上是標的一的2倍，所以，標的二更值得加重倉位。
如果市場是有效的，勝率和賠率一般是反比例變動，不給任何人套利的機會。但我們投資股票就是要尋找這種勝率和賠率出現不對稱的情況。
如果你想一直在市場中存活下去，高概率總是優于高賠率的，也就是說，盡量少碰“彩票型股票”，因為彩票型股票更容易讓你犯錯，讓你控制不住自己的情緒。我們要追求的是“高概率”，等待“擊球區”，等待出手的時機，如果時機不好，就堅決不出手。這很像孫子兵法中說的“先為不可勝，以待敵之可勝，不可勝在己，可勝在敵”：
先為不可勝：首先要保證自己是不可被戰勝的，保住你的本金，長久的在市場中存活下去。
以待敵之可勝：靜靜地等待出手的時機，像是隱藏在陰暗角落的狙擊手，出手就有很大的概率擊殺。
不可勝在己：不可被戰勝是自己能夠控制的，你要控制好自己的情緒，控制你的心態不要崩潰，從而不可被戰勝。
可勝在敵：能否取得勝利，能否實現盈利是自己控制不了的，而是全靠“等”，等待對手盤情緒崩潰，當然，如果等不來，你就只能繼續等，因為這是外部客觀環境，你控制不了。
